Lernzettel: Geraden und lineare Funktionen

📋 Kursübersicht

1. Lineare Funktionen und Graphen
2. Steigung und Achsenabschnitt
3. Geradengleichungen bestimmen
4. Lineare Modelle und Prognosen
5. Parallele und senkrechte Geraden

📖 1. Lineare Funktionen und Graphen

🔑 Schlüsselkonzepte & Definitionen

• Lineare Funktion: Eine Funktion der Form $f(x)=mx+b$, wobei $m$ und $b$ reelle Zahlen sind.

★ Unbedingt können

• Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Ergänzungen

• Für $f(x)=mx+b$ hängt die Monotonie vom Vorzeichen von $m$ ab.

• Der Mobilfunktarif kostet 55 US-Dollar pro Monat und enthält 1 GB Daten; jedes weitere Datenvolumen kostet 5 US-Dollar je 250 MB.

📖 2. Steigung und Achsenabschnitt

🔑 Schlüsselkonzepte & Definitionen

• Steigung: Die Zahl $m$ in der Geradengleichung $y=mx+b$ heißt Steigung der Geraden.
• y-Achsenabschnitt: Die Zahl $b$ in der Geradengleichung $y=mx+b$ heißt y-Achsenabschnitt.

★ Unbedingt können

📐 Formel - Für zwei verschiedene x-Koordinaten von Punkten auf einer Geraden gilt $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\mathrm{Rise}}{\mathrm{Run}}$.

Ergänzungen

• Der Graph der Funktion $f$ ist die Menge aller Punkte $(x,y)$, für die $y=mx+b$ gilt.

💡 Eselsbrücke

Die Steigung ist der Anstieg entlang der Geraden; b markiert ihren Schnittpunkt mit der y-Achse.

📖 3. Geradengleichungen bestimmen

★ Unbedingt können

📐 Formel - Sind Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $b$ bekannt, lautet die Geradengleichung $y=mx+b$.

📐 Formel - Sind die Steigung $m$ und ein Punkt $(x_1,y_1)$ bekannt, gilt $y-y_1=m(x-x_1)$.

📐 Formel - Sind zwei Punkte $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ mit $x_1\ne x_2$ bekannt, gilt $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$.

Ergänzungen

• Zur Bestimmung einer Geradengleichung werden mindestens zwei Informationen über die Gerade benötigt.

📖 4. Lineare Modelle und Prognosen

📝 Wesentliche Punkte

• Ein lineares Modell aus zwei Messwerten entsteht, indem man die Steigung aus den Punkten berechnet und anschließend die Geradengleichung mit diesen Daten bestimmt.

• Der Männerrekord über 1500 m betrug 1930 3:49,2 Minuten beziehungsweise 3,82 Minuten und 1950 3:43 Minuten beziehungsweise 3,72 Minuten.

• Für das lineare Modell des 1500-m-Rekords bezeichnet $R$ die Zeit in Minuten und $t$ die Anzahl der Jahre seit 1930.

📖 5. Parallele und senkrechte Geraden

★ Unbedingt können

📌 Zwei nicht vertikale Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind: $m_1=m_2$.

📌 Zwei nicht vertikale Geraden sind genau dann senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ist: $m_1m_2=-1$.

Ergänzungen

• Eine vertikale Gerade hat keine definierte Steigung; deshalb gelten die Steigungsbedingungen für Parallelität und Senkrechtstehen nur für nicht vertikale Geraden.

💡 Eselsbrücke

Parallel: gleiche Steigung; senkrecht: Steigungen mit Produkt −1.